湘潭大学2017年硕士研究生入学考试自命题科目考试大纲

科目代码

科目名称

     

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

高等代数

 

 

 

适用于数学一级学科硕士研究生招生入学考试。重点考核学生对高等代数的基本概念、基本理论、基本方法和基本技巧的掌握与运用能力考查的知识要点如下:

1多项式:数域的概念,一元多项式的概念和运算性质,整除的概念和常用性质,带余除法,辗转相除法,最大公因式的概念和性质,不可约多项式的概念和性质,因式分解及唯一性定理,标准分解式的概念,重因式的概念、性质及一多项式有无重因式的判别方法,多项式函数的概念、性质及根,代数基本定理,复系数与实系数多项式的因式分解定理,有理系数多项式、整系数多项式和本原多项式的概念、性质及相互关系,整系数多项式的有理根的求法,Eisenstein判别法。

2行列式n排列的概念和性质,n级行列式的概念、性质及计算方法,矩阵的概念及其初等变换,行列式按一行(列)展开,代数余子式,范德蒙行列式,克兰姆(Cramer)法则及应用。

3线性方程组:消元法,n维向量空间的概念和运算性质,线性相(无)关性的概念和性质,矩阵的k级子式,矩阵的秩的概念、性质及与行列式的关系,线性方程组有解判别定理,线性方程组解的结构。

4矩阵:矩阵的概念与运算,矩阵乘积的行列式与秩,矩阵的逆的概念、性质及求法,矩阵分块的概念和分块矩阵的运算,初等矩阵及与矩阵的初等变换的关系,分块乘法的初等变换及应用。

5.二次型:二次型的矩阵表示,矩阵的合同关系,对称矩阵的概念和性质,用非退化线性变换化二次型为标准形,实、复二次型的规范型,惯性定理与惯性指数,正定、半正定二次型的概念、性质及判别方法。

6线性空间集合、映射的定义与运算性质,线性空间的定义与简单性质,维数、基与坐标的概念和性质,基变换与坐标变换,线性子空间的概念和性质,子空间的交与和的概念及性质,子空间的直和的定义及判别准则,线性空间的同构,同构映射的概念和性质。

7线性变换线性变换的定义、运算及其简单性质,线性变换的矩阵及其性质,矩阵的相似关系的定义及其性质,特征多项式、特征值与特征向量的定义、性质及计算,线性变换在某一组基下的矩阵为对角矩阵的条件(即矩阵相似于对角矩阵的条件),线性变换的值域与核的概念及性质,不变子空间的概念,不变子空间与线性变换矩阵化简之间的关系,若当(Jordan)标准形的概念及应用,最小多项式的概念和性质及求法。

8λ-矩阵λ-矩阵的定义及其秩、逆和初等变换,λ-矩阵在初等变换下的标准形,行列式因子、不变因子和初等因子的定义、性质及求法,矩阵相似的条件,复矩阵若当(Jordan)标准形的计算。

9欧几里得空间欧几里得空间(含内积)的定义与基本性质,欧几里得空间中基的度量矩阵,正交向量组、正交基、标准正交基的定义、基本性质及相互关系,施密特正交化方法,欧几里得空间的同构,正交变换、正交矩阵的定义和性质,子空间的正交关系,对称变换、实对称矩阵的性质及其标准形的求法,酉空间的概念和性质。