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高等代数2019年考试大纲

发布时间:2018-09-27   阅读: 125次

适用于数学一级学科硕士研究生招生入学考试。要求考生熟悉高等代数的基本概念、掌握基本定理与方法、有较强的运算能力和综合分析解决问题能力。考查的知识要点如下:

1.多项式:数域概念,一元多项式运算法则;带余除法定理,最大公因式概念及求法(辗转相除法);不可约多项式概念和因式分解唯一性定理;重因式、余数定理,零点()定理;复/实系数多项式的因式分解定理;有理系数多项式、整系数多项式和本原多项式的概念、性质及相互关系,整系数多项式的有理根的求法,Eisenstein判别法 

2行列式:排列及对换的概念,排列奇偶性的概念及判定;行列式的定义、性质及计算方法;行列式按一行(列)展开,代数余子式,范德蒙德(Vandermonde)行列式;矩阵的定义和初等行、列变换,矩阵与行列式的区别;克拉默(Cramer)法则及应用。

3线性方程组:线性方程组的高斯(Gauss)消元法;向量空间、线性相关、线性无关的概念与性质;矩阵的k级子式,矩阵秩的定义、性质及求法,向量组的极大线性无关组的求法;线性方程组有解的判定、线性方程组解的结构。

4矩阵:矩阵的基本运算,矩阵乘积的行列式与秩;矩阵的逆的定义、性质及求法;矩阵分块的概念和分块矩阵的运算,初等矩阵、初等变换与矩阵的秩,分块乘法的初等变换及应用。  

5.二次型:二次型的矩阵表示,矩阵的合同关系,对称矩阵的概念和性质,用非退化线性变换化二次型为标准形,实、复二次型的规范型,惯性定理与惯性指数,正定、半正定二次型的概念、性质及判别方法。

6线性空间集合、映射的定义与运算性质,线性空间的定义与简单性质,维数、基与坐标的概念和性质,基变换与坐标变换,线性子空间的概念和性质,子空间的交与和的概念及性质,子空间的直和的定义及判别准则,线性空间的同构,同构映射的概念和性质。

7线性变换线性变换的定义、运算及其简单性质,线性变换的矩阵及其性质,矩阵的相似关系的定义及其性质,特征多项式、特征值与特征向量的定义、性质及计算,线性变换在某一组基下的矩阵为对角矩阵的条件(即矩阵相似于对角矩阵的条件),线性变换的值域与核的概念及性质,不变子空间的概念,不变子空间与线性变换矩阵化简之间的关系,若当(Jordan)标准形的概念及应用,最小多项式的概念和性质及求法。

8λ-矩阵λ-矩阵的定义及其秩、逆和初等变换,λ-矩阵在初等变换下的标准形,行列式因子、不变因子和初等因子的定义、性质及求法,矩阵相似的条件,复矩阵若当(Jordan)标准形的计算。

9欧几里得空间欧几里得空间(含内积)的定义与基本性质,欧几里得空间中基的度量矩阵,正交向量组、正交基、标准正交基的定义、基本性质及相互关系,施密特正交化方法,欧几里得空间的同构,正交变换、正交矩阵的定义和性质,子空间的正交关系,对称变换、实对称矩阵的性质及其标准形的求法,酉空间的概念和性质。

参考书目:

北京大学数学系前代数小组编,王萼芳,石生明修订,高等代数(第四版),高等教育出版社,20138.