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数学分析2019年考试大纲

发布时间:2018-09-27   阅读: 164次

    适用于数学一级学科硕士研究生招生入学考试。重点考核学生对数学分析的基本概念、基本理论、基本方法和基本技巧的掌握与运用能力。考查的知识要点如下:

1.集合与映射:集合与映射的概念及运算,一元函数的概念,初等函数,复合函数,函数的分段表示,隐式表示,参数表示,函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性,三角不等式与均值不等式。

2.数列的极限: 实数系,最大数与最小数,上确界与下确界的概念,实数系的连续性,数列极限的定义, 数列极限的性质 ,数列极限的四则运算法则, 无穷小量与无穷大量的概念,Stolz定理, 单调有界数列必有极限 ,闭区间套定理 ,Bolzano-Weierstrass定理 ,Cauchy收敛原理。

3.函数极限与连续函数:函数极限的概念、性质和四则运算法则,函数极限与数列极限的关系,单侧极限,函数极限定义的扩充,连续的概念,连续函数的四则运算法则,不连续点的类型,反函数的连续性,复合函数的连续性,初等函数的连续性,闭区间上连续函数的性质(有界性定理, 最值定理,介值定理,零点存在定理,一致连续概念,Cantor定理.)。

4.导数:导数的概念,几何意义,基本初等函数的求导公式,求导的四则运算法则,反函数的导数,复合函数的导数,用参数方程表示的函数的求导法,可导与连续的关系,微分的概念及四则运算法则,复合函数的微分,一阶微分形式的不变性,高阶导数、高阶微分的概念,高阶导数的运算法则,一些简单函数的高阶导数、高阶微分。

5.微分中值定理及应用: 罗尔定理、Lagrange中值定理,Cauchy中值定理,L’Hospital法则,Taylor公式,一元函数单调性的概念及判别,极值的概念及求法,函数的最值的求法,函数图形的凹凸性和拐点,渐近线的概念及求法,函数图形的描绘。

6.不定积分:不定积分的概念,不定积分的基本公式及运算法则,换元法,分部积分法,有理函数的积分,三角函数有理分式的积分。

7.定积分:定积分的概念,Darboux大和与Darboux小和的概念,Riemann可积的充分必要条件,可积函数类( 连续函数,只有有限个间断点的函数,单调有界函数),定积分的基本性质,积分第一中值定理,基本积分不等式,Newton-Leibniz 公式,定积分的换元法与分步积分法,定积分的应用。

8.反常积分:反常积分收敛和发散的概念,Cauchy收敛原理,比较判别法,Cauchy判别法,积分第二中值定理,Abel判别法,Dirichlet判别法,Cauchy积分主值的概念及计算。

9.数项级数:数项级数的收敛与发散的概念,级数的基本性质,Cauchy收敛准则,正项级数的收敛原理及判别法(比较判别法,Cauchy判别法,D’Alembert判别法,积分判别法),交错级数,Leibniz判别法,绝对收敛与条件收敛概念, Abel变换,Abel判别法,Dirchlet 判别法, 绝对收敛级数的性质。

10. 函数项级数: 一致收敛的概念及性质(和函数连续性,逐项求导,逐项求积),一致收敛的判别法(Weiezstzass判别法,Abel判别法,Dirichlet判别法),Dini定理),幂级数的收敛半径,幂级数的性质(连续性,逐项求导,逐项求积),函数的幂级数展开,用多项式逼近连续函数。

11. 欧几里得空间上的极限和连续: 欧几里得空间上的距离与极限,开集、闭集、紧集的概念,欧几里得空间上的基本定理,多元函数极限的概念及性质,累次极限,多元连续函数的概念及性质,紧集上连续函数的性质。

12. 多元函数的微分学:偏导数和全微分的概念,可微与可导、可微与连续的关系,高阶偏导数,高阶全微分的概念及计算,多元复合函数求导的链式法则,一阶微分形式的不变性,中值定理与Taylor公式,隐函数的存在性,反函数的存在性,隐函数的导数,空间曲线的切线与法平面,空间曲面的切平面与法线,多元函数的极值及其求法,条件极值的概念及求法。

13. 重积分:重积分的概念及性质,二重积分的计算(直角坐标,极坐标及一般的坐标变换)及应用,三重积分的计算(三重积分化为累次积分,直角坐标、柱面坐标、球面坐标及一般换元法),反常重积分收敛与发散的概念及判别。

14. 曲线积分与曲面积分:第一类曲线积分与第一类曲面积分的概念、性质及计算,第二类曲线积分与第二类曲面积分的概念、性质及计算,Green公式,平面曲线积分与路径无关性,Gauss公式,Stokes公式。

15. 含参变量的积分:含参变量的常义积分的概念及性质(连续性,积分号下求导,积分次序的交换),含参变量反常积分一致收敛的概念及性质(连续性,积分号下求导数,积分次序的交换),一致收敛判别法,B函数,Г函数,Stirling公式。

16. Fourier级数:函数的Fourier级数展开,Fourier级数的收敛判别法,Fourier级数的分析性质与逼近性质。

参考书目:

陈纪修,於崇华,金路,数学分析(第二版),高等教育出版社,2004